5. August 2009
Logistisches Chaos
Worüber man manchmal so stolpert, kann einen schon stutzig machen. Die unscheinbare logistische Gleichung zum Beispiel:
Bei dieser Form der logistischen Gleichung handelt es sich um eine quadratische rekursive Folge, die in Abhängigkeit von einer gegebenen Fortplanzungs- und Sterberate (r > 0) die Entwicklung einer Population modellieren soll. Das n-te Folgenglied steht dabei für den Zustand der Population nach n Generationen. Im Modell gilt stets 0 <= x_n <= 1, wobei der Wert 1 die volle Auslastung des Biotops, d.h. das Erreichen der möglichen Maximalpopulation beschreibt und der Wert 0 das vollständige Aussterben der Population.
Je nach Wahl des Parameters r lassen sich nun äußerst interessante Beobachtungen machen: für kleine r konvergiert die Folge gegen einen eindeutigen Grenzwert und nähert sich diesem zunächst monoton, für etwas größere r dann periodisch an. Das Pendant in der Biologie: die Population erreicht eine stabile Größe. Vergrößert man r nun weiter, so ist die Folge nicht mehr konvergent, oszilliert aber immer noch zwischen zwei, dann vier, acht und mehr Häufungspunkten, wobei sich die Intervalle mit gleicher Zahl an Häufungspunkten gemäß der Feigenbaum-Konstante immer weiter verkürzen. Dann stürzt sich die Folge ins Chaos: für die meisten r sind keine Regelmäßigkeiten mehr zu erkennen, es werden “zufällige” Werte angenommen, für manche r erkennt man wieder Perioden und verschiedene Anzahlen an Häufungspunkten, bis x_n das Intervall [0,1] verlässt und die Folge divergiert. Etwas schwärmerisch ausgedrückt: die Mathematik transzendiert das Modell.
Dieses Verhalten lässt sich am sogenannten Bifurkationsdiagramm unten ablesen. Es zeigt die Häufungspunkte der logistischen Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter r. Links oben sieht man das selbe Diagramm, allerdings analog berechnet und von einer Website, die sich hauptsächlich mit DIY-Synthesizertum auseinandersetzt und der eigentliche Auslöser für diesen Blogeintrag ist. Der Urheber des Bildes (siehe unten) schreibt nicht ganz zu unrecht: This has not only a mathematical, but also a mystical flair…
Siehe auch:
- Logistische Gleichung analog berechnen (Jörg Schmitz)
- Mehr mathematische Hintergründe (Wolfram MathWorld)
- Chaosforschung (Wikipedia)